第2个回答 2011-08-15
法一、反证法,假设1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)>3/2,由于a,b,c的可互换性,
可知1/√(1+a^2),1/√(1+b^2),1/√(1+c^2)至少有一个大于1/2,则可推出a,b,c三个数中至少有一个小于于√3,设a为最小数,a<√3;
(a+b+c)/abc=1/bc+1/ab+1/ac<1/(a*a)+1/(a*a)+1/(a*a)<1与a+b+c=abc矛盾
所以1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)≤3/2
法二、换元a=tanA b=tanB c=tanC且A,B,C属于(0,π/2)
tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC
tanA+tanB+tanC(1-tanA*tanB)=(tanA+tanB)(1+tanC/tan(A+B))=0
tanC=-tan(A+B),又由范围可知a+b+c=180度
即证1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosA+cosB+cosC≤3/2
cosA+cosB+cosC=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2cos((A+B)/2)^+1
仅当A=B,cos((A+B)/2)=1/2时取得最大值3/2,
所以1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosA+cosB+cosC≤3/2
请给分哦~
第3个回答 2011-08-21
由a>0,b>0,abc=1知c=1/(ab)>0,所以
1/[a³(b+c)]+1/[b³(a+c)]+1/[c³(a+b)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[a³b³c³(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a²+ac+ab+bc)+a³c³(b²+ac+ab+bc)+a³b³(c²+ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[a²b³c³+a³b²c³+a³b³c²+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[bc+ac+ab+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³c³+a³c³+a³b³+1)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³+a³)c³+(a³b³+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)(a²-ab+b²)c³+(ab+1)(a²b²-ab+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
≥[(b+a)abc³+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)c²+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]