关于介值定理、最值定理的理解

Question

1、
介值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C (a<ξ<b)。
　　特别是，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)---零值定理。

2、
最值定理：连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

3、
还有个定理，是这两个定理的结合：
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，m、M分别是它在[a,b]上的最小值和最大值，
m≤c≤M
则必存在ξ，使得 f(ξ)=C (a≤ξ≤b)。

这三个定理在证明题中，感觉很难理解
在什么情况下用哪个定理呢？
例外，这三个定理本质上说，有什么区别呢？
请好心人解释一下吧，多谢

Answer 1

这里有一题用了零值定理
设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证存在一点ξ∈(0,1)，使f'(ξ)=1
证明：令F(x)=f(x)-x
F(1)=f(1)-1=-1<0，F(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2>0
由零值定理知，至少存在一点η∈(1/2,1)，使F(η)=0

因为F(0)=0=F(η)，那么F(x)在[0,η]上满足罗尔定理，则至少存在一点ξ∈(0,η)使F'(ξ)=0
即存在ξ∈(0,1)使f'(ξ)=1