介值性定理是微积分中的一个重要定理，用来描述连续函数在某个区间上取得所有中间值的特性。
设函数f（x）在闭区间a、b上连续，且f（a）不等于f（b）。则对于任何介于f（a）和f（b）之间的数c，存在某个数x0属于区间a、b，使得f（x0）=c。
介值性定理表明，对于一个连续函数，在其定义的区间上，它可以取到介于其起点和终点之间的任何值。这可以理解为函数图像在区间上不存在间断或跳跃，而是在连续变化。
例如，考虑函数f（x）=x^2在闭区间0、1上，f（0）=0，f（1）=1。根据介值性定理，对于任何介于0和1之间的数c，都存在某个数x0属于区间 0、1，使得f（x0）=c。函数f（x）=x^2在区间0、1上可以取到介于0和1之间的任何值。
介值性定理在数学分析和实际应用中有许多重要的应用
1、方程的根：介值性定理可用于证明方程有解。如果一个函数在一个闭区间上连续，并且函数值在该区间的两个端点处具有异号，那么根据介值性定理，函数在该区间内至少存在一个根。
2、连续改变性的证明：介值性定理可用于证明连续函数具有连续改变的性质。例如，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的两个端点处取不同的函数值，那么根据介值性定理，函数在该区间内取到介于这两个值之间的所有值，即函数图像没有间断。
3、数值逼近：介值性定理可用于数值逼近问题。如果一个函数在一个闭区间上连续，并且已知函数在该区间的两个端点处的值，那么根据介值性定理，我们可以通过逐步细分区间、进行二分法等方法，逼近函数在该区间内的某个特定值。
4、函数图像的特征：介值性定理可用于推断函数图像的特征。例如，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且已知函数在该区间的两个端点处的值，根据介值性定理，我们可以推断函数在该区间内取到的最大值和最小值，并且函数图像会穿过介于最大值和最小值之间的所有值。
5、实际应用：介值性定理在实际生活中也有许多应用。例如，在经济学中，介值性定理可用于分析价格变动和市场供求关系；在物理学中，介值性定理可用于分析物理量的连续变化。