初三数学几何奥数求解？

Question

在随便一个四边形ABCD中，满足AD加BC等于AB加CD。求四边形有内切圆？(注意：四边形不是规则图形，既非正方形和菱形等)

Answer 1

反证法，如图,假设ABCD没有内切圆，作三角形ABE的内切圆，过C作圆的切线CD'，那么有

AU=AV,D'V=D'X,CX=CY,BY=BU

所以AV+D'V+CY+BY=AU+D'X+CX+BU,即AB+CD'=AD'+BC,又AB+CD=AD+BC,所以CD'-CD=AD'-AD=DD'

而三角形两边之和大于第三边，矛盾

假设错误，那么ABCD有内切圆

Answer 2

由已知条件可知四边形不能是平行四边形，则至少存在一组对边不平行（设为AD、BC），
延长BA、CD交于一点P，作△PBC的内切圆O，设BP、BC、CP三边上的切点是E、F、G，
再作圆O的一条切线l，与BP、CP分别相交于M、N，使l与△PBC的三边构成圆O的外切四边形，
则可知MN+BC=MB+NC，由已知条件AD+BC=AB+CD，
两式相减可得|MN－AD|=AM+DN，而这四条线段构成一个四边形，显然只有四点共线时成立，
而M、N分别在BP、CP上，所以A与M、B与N是重合的，则四边形ABCD有内切圆
由此可知四边形对边之和相等是四边形有内切圆的充分必要条件