急急急！初三奥数题~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（几何证明）

Question

如图角ABC=60°，角ACB=40°，这两角的角平分线BI、CI相交于I点，求证AB=CI.
(比我自己先想出来还追加分噢~)

Answer 1

问：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC．
答：证明：∵∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-40°=80．
∵∠PBC=∠ABC=×60°=30°，∠PCB=∠ACB=×40°=20°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-30°-20°=130°．
在△ABC中，由正弦定理，有AB：sin∠ACB=BC：sin∠BAC．
在△PBC中，由正弦定理，有PC：sin∠PBC=BC：sin∠BPC．
∴（AB：sin∠ACB）：（PC：sin∠PBC）=（BC：sin∠BAC）：（BC：sin∠BPC），
∴（AB：PC）（sin∠PBC：sin∠ACB）=sin∠BPC：sin∠BAC，
∴（AB：PC）（sin30°：sin40°）=sin130°：sin80°，
∴AB：PC=sin40°sin130°：（sin30°sin80°），
∴AB：PC=2sin40°sin（90°+40°）：sin80°，
∴AB：PC=2sin40°cos40°：（2sin40°cos40°）=1，
∴AB=PC．
题目不一样，但差不多，你可以自己再想想

Answer 2

连接AI。
以A为顶点以AB为一边在△ABC外部作∠BAD=20°交CB的延长线于D。
由作法知∠ADC=∠ABC-∠BAD=60°-20°=40°=∠ACB，
∴AD=AC。
由题意知∠BAC=80°，I是△ABC的内心，∴∠CAI=40°=∠ADC；
∠ACI=40°/2=20°=∠BAD，∴△ACI≌△DAB，于是AB=CI。

Answer 3

证明：连AI并延长交BC于D。做角BAD的角分线交BC于E，角AED＝角ADE，三角形ADE为等腰三角形，AE＝AD＝DC（ADC等腰）。则三角形CDI全等三角形AEB（角边角），则AB＝CI。证毕。