如图，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外切圆的半径为r.

Question

﹙1﹚求证：BC·BD=r·ED
﹙2﹚若BD=3，ED=4，求AE的长。

Answer 1

解：（1）取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），
∴ OC/BD=CE/DE，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
(2)设OC=OB=OA=rAE=5-2r 因为△COE∽△DBE所以BD\BE=OC\OE=3\5∴r\r+5-2r=3\5∴r=10/3∴AE=5-10/6=10/3