如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r. (1)求证
(1)求证：BC*BD=r*ED；
(2)若BD=3，DE=4，求AE的长.
并说明理由
请仔细说明，快快快快。急
（1）、取AB中点O，三角形ABC是RT三角形，AB是斜边，O是外接圆心，
连结CO，
BO=CO，
〈BCO=〈OBC，
BC是〈DBE平分线，
〈DBC=〈CBA，
〈OCB=〈DBC，
OC//DB，（内错角相等），
OC/BD=CE/DE，
OC=r,
BD*CE=DE*r,（1）
作CF⊥BE，垂足F，
<D=90度，
〈CFB+〈D=180度，
F、B、D、C四点共圆满，
〈FCE=〈DBA，（外角等于内对角），
CD=CF，（角平分线与角两边等距），
RT△BDC≌RT△ECF，
CE=BC，
代入（1）式，
∴BC*BD=r*ED,证毕。
（2）、BD=3，DE=4，
根据勾股定理，BE=5，
设CE=x,BC=CE=x,
BD^2+CD^2=BC^2,
3^2+(4-x)^2=x^2,
x=25/8,
CE=25/8,
由前所述，OC//BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，
CE是圆O切线，
CE^2=AE*BE,(切割线定理），
AE=(25/8)^2/5=125/64.
∴AE=125/64。
连结CO，
BO=CO，
〈BCO=〈OBC，
BC是〈DBE平分线，
〈DBC=〈CBA，
〈OCB=〈DBC，
OC//DB，（内错角相等），
OC/BD=CE/DE，
OC=r,
BD*CE=DE*r,（1）
作CF⊥BE，垂足F，
<D=90度，
〈CFB+〈D=180度，
F、B、D、C四点共圆满，
〈FCE=〈DBA，（外角等于内对角），
CD=CF，（角平分线与角两边等距），
RT△BDC≌RT△ECF，
CE=BC，
代入（1）式，
∴BC*BD=r*ED,证毕。
（2）、BD=3，DE=4，
根据勾股定理，BE=5，
设CE=x,BC=CE=x,
BD^2+CD^2=BC^2,
3^2+(4-x)^2=x^2,
x=25/8,
CE=25/8,
由前所述，OC//BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，
CE是圆O切线，
CE^2=AE*BE,(切割线定理），
AE=(25/8)^2/5=125/64.
∴AE=125/64。
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第1个回答 2011-02-12
解：（1）取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC‖DB，（内错角相等，两直线平行），
∴ OCBD=CEDE，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
作CF⊥BE，垂足F，
∵∠D=90度，
∴∠CFB+∠D=180°，
∴F、B、D、C四点共圆，
∴∠FCE=∠DBA，（圆外接四边形的外角等于它的内对角）．
∵CD=CF，（角平分线上的点到角两边的距离相等角两边等距），
∴Rt△BDC≌Rt△ECF，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．
（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设CE=x，BC=CE=，BD2+CD2=BC2，32+（4-x）2=x2，x= 258，
由前所述，OC‖BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，
CE是圆O切线，CE2=AE•BE，
AE=（ 258）2÷5= 12564．本回答被提问者采纳
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC‖DB，（内错角相等，两直线平行），
∴ OCBD=CEDE，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
作CF⊥BE，垂足F，
∵∠D=90度，
∴∠CFB+∠D=180°，
∴F、B、D、C四点共圆，
∴∠FCE=∠DBA，（圆外接四边形的外角等于它的内对角）．
∵CD=CF，（角平分线上的点到角两边的距离相等角两边等距），
∴Rt△BDC≌Rt△ECF，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．
（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设CE=x，BC=CE=，BD2+CD2=BC2，32+（4-x）2=x2，x= 258，
由前所述，OC‖BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，
CE是圆O切线，CE2=AE•BE，
AE=（ 258）2÷5= 12564．本回答被提问者采纳
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