如图，在直角三角形BDE中，角BDE＝90°，BC平分角DBE交DE于点C，AC垂直于CB交BE于点A，

Question

三角形ABC的外切圆的半径为r.
（1）求证：BC×BD=r×ED；
（2）若BD＝3，ED＝4，求AE的长。

Answer 1

（1）、取AB中点O，三角形ABC是RT三角形，AB是斜边，O是外接圆心，
连结CO，
BO=CO，
〈BCO=〈OBC，
BC是〈DBE平分线，
〈DBC=〈CBA，
〈OCB=〈DBC，
OC//DB，（内错角相等），
OC/BD=CE/DE，
OC=r,
BD*CE=DE*r,（1）
作CF⊥BE，垂足F，
<D=90度，
〈CFB+〈D=180度，
F、B、D、C四点共圆满，
〈FCE=〈DBA，（外角等于内对角），
CD=CF，（角平分线与角两边等距），
RT△BDC≌RT△ECF，
CE=BC，
代入（1）式，
∴BC*BD=r*ED,证毕。
（2）、BD=3，DE=4，
根据勾股定理，BE=5，
设CE=x,BC=CE=x,
BD^2+CD^2=BC^2,
3^2+(4-x)^2=x^2,
x=25/8,
CE=25/8,
由前所述，OC//BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，
CE是圆O切线，
CE^2=AE*BE,(切割线定理），
AE=(25/8)^2/5=125/64.
∴AE=125/64。

Answer 2

三角形ABC的外切圆？？？三角形没有“外切圆”。只有“外接圆”。“内切圆”。你的r是哪一个？