问几道高中数学题，高中数学好的人来看看..要答案和过程

Question

1.二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式
（2）对任意的x属于【-1，1】不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数的取值范围
2设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y属于R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）的值 （2）求证f（x）为奇函数；（3）若函数f（x）是R上的减函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求实数a的取值范围。

Answer 1

1.解：(1)设f(x)=ax^2+bx+c
由f（0）=1得c=1
又由f（x+1）-f（x）=2x得
2ax+a+b=2x
∴a=1 b=-1
∴f(x)=x^2-x+1
(2)∵对任意的x属于【-1，1】不等式f（x）＞2x+m恒成立
∴对任意的x属于【-1，1】不等式f（x）-2x＞m恒成立
∴m<[f(x)-2x]min
∵[f(x)-2x]min=[x^2-3x+1]min=-1
∴m<-1
2.(1)解：令x=y=0，则有f(0+0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
(2)证明：令x=-y ，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)
∴ f(-x)=-f(x)
（3）解：∵f(1)=1
∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2
∴f（a-1）+2=f(a-1)+f(2)=f(a+1)
∵f（2a）＞f（a-1）+2=f(a+1)，函数f（x）是R上的减函数
∴2a>a+1
∴a>1

Answer 2

1 (1) 都说了是二次函数了，所以设f(x)=Ax²+Bx+C
∵f(0)=1； ∴ C=1
∵f(x+1)-f(x)=A(x+1)²+B(x+1)+1-Ax²-Bx-1=2Ax+A+B=2x
∴ 2A=2；A+B=0
∴ A=1，B=﹣1
∴f(x)=x²-x+1
(2) ∵ f(x)=x²-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立
则 x²-3x+1>m
令g(x)= x²-3x+1
∵ g(x)开口向上，对称轴为x=1.5， ∴g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=﹣1
∴当m<-1时，式子恒成立

2 (1) ∵ f(x+y)=f(x)+f(y) ∴ f(0+0)=f(0)+f(0)
∴ f(0)=2f(0)，f(0)=0
(2) ∵ f(x+y)=f(x)+f(y) ∴ 对任意x，有：f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
∴f(0)=f(x)+f(-x)=0， f(x)= ﹣f(-x)
∴f(x)是奇函数
(3) f(2a)=f(a)+f(a)=2f(a)=2[f(a-1)+f(1)]=2f(a-1)+2
∵f(2a)＞f(a-1) +2
∴ 2f(a-1)+2＞f(a-1) +2
∴f(a-1)>0
∵f(0)=0，且f(x)为减函数
∴ a-1<0，则 a<1

Answer 3

1.(1)设二次函数为：f(x)=ax^2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c 因为f(0)+1 带代所以c=1 f(x+1)-f(x)=2ax+a+b 因为f（x+1）-f（x）=2x 所以 2ax=2 a=1 a+b=0 b=-1 即f(x)=x^2-x+1
（2）f（x）＞2x+m 即 x^2-x+1 >2x+m 即x^2-3x+1 > m 要使在【-1，1】m<x^2-3x+1只需在【-1，1】上m小于x^2-3x+1的最小值 因为x^2-3x+1在【-1，1】递减 所以最小值为f(1)=-1 所以m<-1

2.（1）令x=y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0
（2）令-x=y 所以 f(0)=f(x)+f(-x) 所以 f(x)=-f(-x) 所以f(x)为奇函数
（3）令x=y=1 所以f(2)=f(1)+f(1)=2 因为f（2a）＞f（a-1）+2 即 f（2a）＞f（a-1）+f(2)
即f（2a）＞f（a+1）函数f（x）是R上的减函数 所以2a<a+1 即a<1