14. (x+1)(x-2)^7 的展开式中x^7的系数为 ？

Question

如题所述

Answer 1

要求展开式中 x^7 的系数，我们需要展开表达式 (x+1)(x-2)^7，并找到 x^7 的项。
展开表达式 (x+1)(x-2)^7，我们可以使用二项式定理：
(x+1)(x-2)^7 = x(x-2)^7 + 1(x-2)^7
根据二项式定理，我们知道，展开 (x-2)^7 会产生一系列项，每个项由 x 和 -2 的幂次组合而成，并且幂次的和为 7。因为我们要找到 x^7 的系数，所以我们只需要关注幂次为 7 的项。
在展开 (x-2)^7 时，幂次为 7 的项为 C(7, k) * x^k * (-2)^(7-k)，其中 k 是从 0 到 7 的取值。
考虑到我们需要的是 x^7 的系数，我们只需找到幂次为 7 的项，并将 k 取值为 7。因此，我们有：
C(7, 7) * x^7 * (-2)^(7-7)
根据组合数公式 C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，我们有：
C(7, 7) = 7! / (7! * 0!) = 1
将这些值代入原始表达式，我们得到：
x^7 * 1 * (-2)^0 = x^7
因此，展开式 (x+1)(x-2)^7 中 x^7 的系数为 1。

Answer 2

(x-2)^7 的展开式
x^6的系数为 = C(7,6)(-2)=-14
x^7的系数为 = 1
//
(x+1)(x-2)^7 的展开式中x^7的系数为
=1-14
=-13