矩阵的乘积为零是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

当两个矩阵相乘等于0时，可以得出以下信息：

1. 矩阵的乘积为零意味着其中至少一个矩阵是奇异矩阵（非满秩的矩阵）。因为只有当两个矩阵都是满秩矩阵时，它们的乘积才可能是非零的。

2. 若矩阵A和矩阵B相乘等于零，则说明矩阵B的列空间位于矩阵A的左零空间中。列空间是由矩阵B的列向量张成的向量空间，左零空间是由矩阵A的左零向量张成的向量空间。意味着矩阵B的列向量是矩阵A的左零向量的线性组合。

3. 若矩阵A和矩阵B相乘等于零，则说明矩阵A的行空间位于矩阵B的零空间中。行空间是由矩阵A的行向量张成的向量空间，零空间是由矩阵B的零向量张成的向量空间。意味着矩阵A的行向量是矩阵B的零向量的线性组合。

4. 当矩阵A和矩阵B相乘等于零时，并不能确切地指出矩阵A或矩阵B是全零矩阵。因为其中一个矩阵可以是非全零矩阵，而另一个矩阵可以是零矩阵。只有当两个矩阵都是零矩阵时，它们的乘积才是全零矩阵。

需要注意的是，当遇到两个矩阵相乘等于零时，并不能得出它们各自是否可逆的结论。矩阵可逆性与乘积为零之间没有直接的关系