高中数学 导函数问题16题的1、2、3小题，望老师解惑，最好有详细步骤，感激不尽。

Question

如题所述

Answer 1

已知函数f(x)=1/3x^3+bx^2+cx+d，其图像的零点处的切线为y=4x-12，其导函数满足f’(x)=f’(2-x)

（1）求f(x)

（2）设g(x)=x√(f’(x)，m>0，求函数g(x) 在区间[0,m]上最大值;

（3）设h(x)=lnf’(x)，对一切x∈[0,1]，不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立，求实数t的取范围。

（1）解析：∵函数f(x)=1/3x^3+bx^2+cx+d，其图像的零点处的切线为y=4x-12，其导函数满足f’(x)=f’(2-x)

∴导函数图像关于直线x=1对称

f’(x)=x^2+2bx+c

∴-2b/2=1==>b=-1

令4x-12=0==>x=3

f’(3)=9-6+c=4==>c=1

f(3)=9-9+3+d=0==>d=-3

∴f(x)=1/3x^3-x^2+x-3

(2)解析：设g(x)=x√(f’(x)，m>0

∴g(x)=x√(x^2-2x+1)=x|x-1|

写成分段函数：

g(x)=x(1-x)=-(x-1/2)^2+1/4 (x<1)

g(x)=x(x-1)=(x-1/2)^2-1/4 (x>=1)

∵区间[0,m]

当0<m<1/2时，g(x)在区间[0,m]上单调增，其最大值为g(m)=m-m^2;

当1/2<=m<1时，g(x)在区间[0,m]上不单调，其最大值为g(1/2)=1/4;

当m>=1时，g(x)在区间[0,m]上单调增，其最大值为g(m)=m^2-m与g(1/2)较大者；

令x(x-1)=1/4==>x1=(1+√2)/2，x2=(1-√2)/2(舍)

当m>=(1+√2)/2时，g(x)在区间[0,m]上单调增，其最大值为g(m)；

综上：当0<m<1/2或m>=(1+√2)/2时，g(x)在区间[0,m]上最大值为g(m);

当1/2<=m<(1+√2)/2时，g(x)在区间[0,m]上最大值为g(1/2)=1/4;

（3）解析：设h(x)=lnf’(x)，

∵对一切x∈[0,1]，不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立

h(x)=lnf’(x)=2ln|x-1|(x≠1)

则h(x+1-t)=2ln|x-t|，h(2x+2)=2ln|2x+1|，

∵当x∈[0,1]时，|2x+1|=2x+1，
∴不等式2ln|x-t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x-t|＜2x+1，且x≠t恒成立，
由|x-t|＜2x+1恒成立，得-x-1＜t＜3x+1恒成立，
∵当x∈[0,1]时，3x+1∈[1,4]，-x-1∈[-2,-1]，∴-1＜t＜1，
又∵当x∈[0,1]时，由x≠t恒成立，得t∉[0,1]，
∴实数t的取值范围是-1＜t＜0