求 反三角函数 的 求导过程！

Question

各个 反三角函数的求导过程。
我知道最终结果，但不知它是怎样来的。

Answer 1

以y=arcsinx为例，来求反三角函数的求导过程。

（根据函数与反函数的导数关系来证明）

设函数x=siny，y∈(-π/2，π/2)，它的反函数记为为y=arcsinx，x∈(-1，1)

函数f=sinx，x∈(-π/2，π/2)上单调，可导。x'=cosy≠0，y∈(-π/2，π/2)

根据函数与反函数的导数关系

则（arcsinx）'=1/cosy

y∈(-π/2，π/2)时，cosy＞0

所以，

同理可以证明函数y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx的导数。

【补充】

函数与反函数的导数关系：

设y=f(x)在点x的某邻域内单调连续，在点x处可导且f'(x)≠0，则其反函数在点x所对应的y处可导，并且有

dx/dy = 1/(dy/dx)

Answer 2

比如y=arcsinx
两边取正弦得到siny=x,这是个隐函数，两边对x求导得：y`cosy=1,即
y`=1/cosy=1/cosarcsinx
由于cosarcsinx=1/(1-x^2)^0.5
所以arcsinx导数为1/(1-x^2)^0.5
其他的都一样本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

根据反函数求导dx/dy＝1/（dx/dy），我们看出y＝arcsinx，所以siny＝x。
dy/dx＝cosy所以dx/dy＝1/cosy，cosy＝根号下1-siny^2，所以y的导数＝根号下1-x^2

Answer 4

上面的回答的很详细也正确，如别还有别的不懂的话可以买本高等经济数学，上面有详细解答的！

Answer 5

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。高等数学第六版上册 高等教育出版社P91有详细的过程