刑事案件一审分为三个阶段：侦查阶段、审查起诉阶段、审判阶段，每个阶段对应的主导主体分别为公安机关、检察院、法院。
在三个阶段被告人的称呼也不同，分别是犯罪嫌疑人、犯罪嫌疑人、被告人。你提到犯罪嫌疑人，应该是指侦查阶段或是审查起诉阶段。那么这两个阶段起主导作用的是公安机关或者检察院。公安机关启动重新鉴定程序的条件是：犯罪嫌疑人、被害人对鉴定结论有异议提出申请，经县级以上公安机关负责人批准，即可启动重新鉴定程序；检察机关启动重新鉴定程序的条件是：犯罪嫌疑人、被害人对鉴定结论有异议提出申请，经检察长批准即可启动重新鉴定程序，两者并不强调审查有异议的理由是否成立。
到了审判阶段，犯罪嫌疑人的称呼改成了被告人，已过了你问题中提到的被称为嫌疑人的阶段。再为你普法一下。法院启动重新鉴定程序有两种情况：第一种是法院在审判过程中，对于当事人和辩护人等申请重新鉴定的，经审查认为可能影响案件事实认定的，而同意该申请启动重新鉴定程序。要注意的是，法院经审查认为原鉴定结论 “可能影响案件事实认定”，这就是个较抽象、灵活的概念，审判人员在司法实践中不便掌握；第二种是审判人员对鉴定结论有疑问的，可以迳行启动重新鉴定程序。
《刑事诉讼法》第一百二十一条规定了“侦查机关应当将用作证据的鉴定结论告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申请，可以补充鉴定或者重新鉴定。”
第一百五十九条规定：“法庭审理过程中，当事人和辩护人、诉讼代理人有权申请通知新的证人到庭，调取新的物证，申请重新鉴定或者勘验检查。法庭对于上述申请，应当作出是否同意的决定。”
《最高人民法院关于执行<中华人民共和国刑事诉讼法>若干问题的解释》(以下简称《解释》)第五十九条规定：“对鉴定结论有疑问的，人民法院可以指派或者聘请有专门知识的人或者鉴定机构，对案件中的某些专门性问题进行补充鉴定或者重新鉴定。”该条款确定了人民法院有权迳行决定对案件的某些专门问题重新鉴定。
《解释》第一百五十六条规定：“当事人和辩护人申请通知新的证人到庭，调取新的证据，申请重新鉴定或者勘验的，应当提供证人的姓名、证据的存放地点，说明所要证明的案件事实，要求重新鉴定或者勘验的理由。审判人员根据具体情况，认为可能影响案件事实认定的，应当同意该申请，并宣布延期审理;不同意的，应当告知理由并继续审理”
《人民检察院实施<中华人民共和国刑事诉讼法>规则》第一百八十六条规定了“用作证据的鉴定结论，应当告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申请，经检察长批准，可以补充鉴定或者重新鉴定。”
《公安机关办理刑事案件程序规定》第二百四十一条规定：“公安机关应当将用作证据的鉴定结论告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人对鉴定结论有异议提出申请，经县级以上公安机关负责人批准后，可以补充鉴定或者重新鉴定。”
司法实践中，当事人并不享有重新鉴定的启动权，其仅享有补充鉴定和重新鉴定的申请权，是否同意由刑事案件的主办机关决定。