要计算函数 f(x) = ln(x + 1) 的泰勒展开式，我们可以使用泰勒公式来展开函数。
泰勒公式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + ...
其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a) 等分别表示函数 f(x) 在点 a 处的一阶、二阶、三阶导数。
对于 f(x) = ln(x + 1)，我们可以选择 a = 0 作为展开点，因为在这个点附近有简单的导数计算。
首先，我们需要计算函数及其各阶导数在 a = 0 处的值：
f(x) = ln(x + 1)
f'(x) = 1 / (x + 1)
f''(x) = -1 / (x + 1)^2
f'''(x) = 2 / (x + 1)^3
然后，我们将这些导数值代入泰勒展开式中，展开到适当的阶数。
ln(x + 1) ≈ f(0) + f'(0)(x-0) + (1/2!)f''(0)(x-0)^2 + (1/3!)f'''(0)(x-0)^3
= ln(1) + 1/(1)(x) + (1/2!)(-1/(1)^2)(x)^2 + (1/3!)(2/(1)^3)(x)^3
= 0 + x - (1/2)x^2 + (2/6)x^3
= x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3
因此，ln(x + 1) 的泰勒展开式为 x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3。请注意，这个展开式只在 a = 0 附近适用，并且在更远的区域内可能不再准确。
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