第1个回答 2014-03-07
34、（山西卷）如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， ．
（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；
（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形 的面积为 ．若点 ，点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止．求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．
设抛物线 的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
当运动到时刻 时， ， ．
根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．
所以，四边形 的面积 ．
因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．
所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．
（3） ，（ ）．
所以 时， 有最大值 ．
提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形 能形成矩形．
由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形 是矩形．
所以 ．所以 ．
所以 ．解之得 （舍）．
所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 ．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
35、（四川课改卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以 为边在 轴下方作正方形 ，点 是线段 与正方形 的外接圆除点 以外的另一个交点，连结 与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）设直线 是 的边 的垂直平分线，且与 相交于点 ．若 是 的外心，试求经过 三点的抛物线的解析表达式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 ，使该点关于直线 的对称点在 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] （1）在 和 中，
四边形 是正方形， ．
又 ，
．
（2）由（1），有 ， ． 点 ．
是 的外心， 点 在 的垂直平分线上．
点 也在 的垂直平分线上．
为等腰三角形， ．
而 ，
．
．
设经过 三点的抛物线的解析表达式为 ．
抛物线过点 ， ． ． ①
把点 ，点 的坐标代入①中，得
即 解得
抛物线的解析表达式为 ． ②
（3）假定在抛物线上存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 在 轴上．
是 的平分线，
轴上的点 关于直线 的对称点 必在直线 上，
即点 是抛物线与直线 的交点．
设直线 的解析表达式为 ，并设直线 与 轴交于点 ，则由 是等腰直角三角形．
． ．
把点 ，点 代入 中，得
直线 的解析表达式为 ．
设点 ，则有 ． ③
把③代入②，得 ，
，即 ．
．
解得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
在抛物线上存在点 ，它们关于直线 的对称点都在 轴上．
[点评]本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难。
36、（浙江卷）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0， )，直线l2的函数表达式为 ，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．
(1) 填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，∠FPB的度数是 ；
(2) 当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R= 时a的值.
(3) 当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R= ，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)
P(1， )
60�0�2
(2) 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．
过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30�0�2，CP=PC)， 所以PG=CD=R．
当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证．
取R= 时，a=1+R= ，
或a=-(R-1) ．
(3) 当⊙C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：
① 如图乙，当0≤a≤ 时，
，
当 时，（满足a≤ ），S有最大值．此时
（或 ）．
② 当 ≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即 时，S最大．此时
．
综合以上①和②，当 或 时，存在S的最大值，其最大面积为
[点评]此题也较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间。
37、（广东课改卷）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 = ，求这时点P的坐标。
[解] （1）作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ＝∠COA＝60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB�6�1sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB�6�1cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
（2）若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
（3）若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴ ,
AD=AB-BD=4- =
AP=OA-OP=7-OP
∴
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
[点评]本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错区分度较好的压轴题。
38、（广东肇庆卷）已知两个关于 的二次函数 与 ；当 时， ；且二次函数 的图象的对称轴是直线 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数 的图象与 的图象是否有交点？请说明理由．
[解] （1）由
得 ．
又因为当 时， ，即 ，
解得 ，或 （舍去），故 的值为 ．
（2）由 ，得 ，
所以函数 的图象的对称轴为 ，
于是，有 ，解得 ，
所以 ．
（3）由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为 ；
由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为 ；
故在同一直角坐标系内，函数 的图象与 的图象没有交点．
[点评]本题是一道函数压轴题，主要考查了二次函数的性质、方程等知识，因该说难度比较恰当解第3小题时要学会画图，比较直观的看出它们是否有交点，在予以说明。