首先,强烈建议你买一本英文版的微积分教材来看。我们学校的微积分是双语的,个人认为中文版(同济大学第五版)总是没有英文版的教材易懂(不止是微积分,其它理工科教材也是这样)。本人因为微积分挂了,已经恶补了半个暑假了。英文版的教材只有级数和微分方程这两章没搞定了,其它章节包括习题在内都差不多吃透了。对于格林公式,高斯公式(也就是中文教材所说的什么“通(流)量—散度公式”),斯托克斯定理有了一些自己的体会。说出来或许对你也有很大帮助。
斯托克斯公式(英文书上是Stocks`Theorem)中所说的曲面,指的是空间中的曲面(当这个面落在坐标轴平面上时,可视为二维平面,此时斯托克斯公式等效于格林公式,同时也等效于二维情况下的通量—散度公式),所说的曲线,指的是这个空间曲面(或二维平面)的边界曲线。你所问到的,“如果曲线是椭球面和平面的交线”的话,那么斯托克斯公式左端的曲线积分,应当是对“椭球面和平面的交线”的曲线积分,而斯托克斯公式右端的曲面积分,自然就是对相应的空间曲面,也就是以“椭球面和平面的交线”为边界的椭球上的曲面的积分。写出对这个所截得的椭球曲面的积分后,再通过将空间曲面积元ds变成x-y平面(或x-z,z-y平面)上的面积元ds`,从而将空间曲面积分变成一个二重积分。我这么解释应该可以解决你第一个问题吧?
至于你给出的这道题,我通过你贴的这张图来和你解释。从“因而”开始,第一个等号后的dS,是空间曲面微元,这一点和斯托克斯公式的右端是一样的。前面的一个三阶行列式,在英文版的教材看来,正是“curl”,也就是旋度这个东东(所以说强烈建议你去看英文版的教材,中国的译者不给力啊~~TOT)。接着往下看,第二个等号后的dS,已经换成了相应的坐标平面上的面积微元了!!!这个dS前的东西为什么是3个负根号3分之一,我实在是不会用中文教材的那一套说法来和你解释,老外的英文版教材真的真的很专业,而且非常比中文教材好理解!而且,这个dS太不专业了咩~~~人家英文版教材,dS用来表示空间面积微元,坐标平面上的面积微元是用dσ来表示的!!!所以说强烈建议你看英文原版教材的咩~~~~~呃。。差不多就是这样了,还有什么不懂的没~~
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
我是一楼。
国内教材相比国外教材,肯定是比不了。这一点不光我说了,我的任课教师也是这么说的。川大的高数课程一种是用中文版教材,还有一种是用英文版教材。我只想说采用英文教材的课程一般学生还选不了。
国内教材我是没怎么看过,我也只会用英文书上的那一套来解释这道题。一楼的回答我也说过了,我是先从一般角度来讨论,然后再具体分析这一道题。有些说法是有些不太规范,本人表达能力有限,语文学得不好,就这样了。
对于中文书上说的“第二类曲面积分”,好像有一个关于正负号的问题,什么时候是正号,什么时候是负号(我印象中好像是这样,不是的话欢迎纠正)。我只知道在英文书中采用的是“单位法向量”,从而可以很快地判断出来(我只会这么表达意思了,您要看不明白再说)。您说的我都看得明白,但我可以肯定地说,英文教材的表述绝对比中文教材的更加好理解。数学学院的微积分任课老师都这么在课堂上说过。
反正就这样了,我语言表述的的确和我所想的有偏差。那就按你的说法来好了。
理工科教材,国外胜于国内。这一点不用我多说。这更不是什么崇洋媚外,人家先进的自然要学。
最后重申,英文版教材我现在可以说是精通其道。我承认表述上有欠缺,说玩了,欢迎一切形式的交流与还击。
参考资料:绝对原创。。。。手打!