求解一道矩阵题目

Question

设n阶矩阵A的特征值为λ1，λ2，···，λn。λ^n+a1*λ^(n-1)+···+an为A的特征多项式。试证：a1=-(λ1+λ2+···+λn),an=(-1)^n*λ1λ2···λn。

Answer 1

λ^n+a1*λ^(n-1)+···+an为A的特征多项式，而λ1，λ2，···，λn为A的特征值，则λ1，λ2，···，λn为特征多项式λ^n+a1*λ^(n-1)+···+an的n个根，即
λ^n+a1*λ^(n-1)+···+an=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)

把右边展开，比较λ^(n-1)和常数项的值，即得：
a1=-(λ1+λ2+···+λn),an=(-1)^n*λ1λ2···λn。