高数题：已知随机变量X~b(n1,p),Y~b(n2,p)证明Z=X+Y~b(n1+n2,p)

Question

我觉得要按P{X+Y=z}=P{X=k,Y=z-k}(对k求和)展开，证了一半证不下去了，求助~难道不是这样做？
悲催，写错了，是概率论

Answer 1

首先，题目的条件漏了一个“X、Y独立”。

按P{X+Y=z}=P{X=k,Y=z-k}(对k求和)展开可以做，但是需要用到组合数学的公式，比较麻烦。

最快的方法:
把 X 写成，X=X1+X2+.....+Xn1，每个Xi ~ Bernoulli(p) ，所有 Xi iid，i=1，2，...，n1
把 Y 写成 Y=Y1+Y2+.....+Yn2，每个Yj ~ Bernoulli(p)，所有 Yj iid，j=1，2，....，n2
X、Y独立，所以，Xi 与 Yj独立，这样
Z=X+Y=X1+X2+.....+Xn1+Y1+Y2+.....+Yn2 是 n1+n2 个 iid 的 Bernoulli(p)分布的和，
所以，Z~Binomial(n1+n2，p)追问

这种方法不标准吧？这样写估计不会给满分

追答

嗯，怎么不标准了？从随机变量的角度讲，二项分布就是和n个Bernoulli分布的和等同的。可以对等替换的，你现在要的也就是Z的分布。
至于有没有满分，这怎么说呢？你们老师要是脑残，那也没办法。
展开求和也就是用卷积，不是不能做，而是要用复杂的组合数学，你可以自己查公式的，我记不清了，好像是两个组合数的乘积等于另一个组合数什么的。
不过，Whatever works is the best. 直觉和思维方法其实是比计算更重要的。

Answer 2

您这是概率不是高数吧~
我这里电脑没有函数编辑器，所以大概跟你说个简单点的方法吧。我们知道二项分布的期望是EX=np(最好证明一下此期望与二项分布是一一对应的），所以有EX=n1p，EY=n2p。根据期望的性质，E(X+Y)=EX+EY=n1p+n2p=(n1+n2)P，所以Z=X+Y~B(n1+n2,p)。 ps：这道题用不着独立。

Answer 3

用它们的特征函数，参数为p伯努利随机变量T特征函数为：f(t)=q+p*e^(it)，所以X的特征函数:(f(t))^n1，同理Y的特征函数:(f(t))^n2，如果X,Y独立，那么X+Y特征函数:(f(t))^(n1+n2)，这就说明了X+Y服从你给的2项分布。如果你对特征函数一无所知可以参考《概率论》苏淳。还有好多类似的题，比如《数理统计》韦来生第2章习题一，都是用特征函数。 一楼方法貌似可以，不专业。