设向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，但β不能由向量组α1，α2，…，αs-1线性表出．证明：秩

Question

设向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，但β不能由向量组α1，α2，…，αs-1线性表出．证明：秩（α1，α2，…，αs-1，αs）=秩（α1，α2，…，αs-1，β）．

Answer 1

证：①向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表出
?R（α₁，α₂，…，α_s-1，α_s）=R（α₁，α₂，…，α_s-1，α_s，β），
所以，R（α₁，α₂，…，α_s-1，α_s）=R（α₁，α₂，…，α_s-1，α_s，β）≥R（α₁，α₂，…，α_s-1，β），
②向量β不能由向量组α₁，α₂，…，α_s-1线性表出
?R（α₁，α₂，…，α_s-1）＜R（α₁，α₂，…，α_s-1，β）≤R（α₁，α₂，…，α_s-1）+1，
所以，R（α₁，α₂，…，α_s-1，β）=R（α₁，α₂，…，α_s-1）+1≥R（α₁，α₂，…，α_s-1，α_s）
综上所述，R（α₁，α₂，…，α_s-1，α_s）=R（α₁，α₂，…，α_s-1，β）．
证毕．

Answer 2

[证明]：根据题意，β=k1α1+...+ksαs，又 β不能由向量组α1，α2，…，αs-1线性表出，∴ks≠0， 得到αs=(-k1/ks)α1+...+(-ks-1/ks)αs-1+(1/ks)β，从而α1,...,αs-1,αs可以由α1,...
αs-1,β线性表出。又β能被α1,...,αs线性表出，∴α1,...,αs-1,β可以被α1,...,αs线性表出。∴α1,...,αs-1,β与α1,...,αs等价，根据定理，等价的两个向量组的秩相等。
证毕