在线性代数中，有一个定理：如果向量β1，β2，……，βs可由向量组α1，α2，……，αs线性表出，

Question

在线性代数中，有一个定理：如果向量β1，β2，……，βs可由向量组α1，α2，……，αs线性表出，且s>t,那么β1.β2....βs线性相关。那这个定理能不能够反过来用？即，若β1.β2....βs线性相关，且s>t.得到向量β1，β2，……，βs可由向量组α1，α2，……，αs线性表出？

Answer 1

不能。例如
α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),β1=(0,0,1),β2=(0,0,2),β3=(0,0,3),β4=(0,0,4)
显然β1，β2，……，β4线性相关，且4>2，但β1，β2，β3，β4不能由α1，α2线性表示。

这个定理的等价结论应该是：
设一个向量组向量组α1，α2，……，αt线性无关,且向量组中的任意一个向量都可以由β1.β2....βs
线性表示。那么t.小于或等于s。追问

谢谢！

追答

不客气

Answer 2

是αt不是αs吧？

反过来定理不成立，证不出它成立，而且反例很好举。
比如β1=（1,0），β2=（0,1），β3=（1,1），s=3，令t=1，α1=（1,0）。

那么，显然，β1、β2、β3不能由α1线性表出。追问

额，打错了，谢谢！

本回答被提问者采纳

Answer 3

啊?