设向量β可由α1，α2，...，αr线性表示，但不能由α1，α2，...，αr-1线性表示

Question

证试向量组α1，α2，...，αr-1，β与向量组α1，α2，...，αr-1，αr等价。
麻烦亲解答尽量详细些

Answer 1

显然，向量α1，α2，...，αr-1，β可以由向量组α1，α2，...，αr-1，αr线性表出。要证明两组向量等价，只要证明向量α1，α2，...，αr-1，αr可以由向量组α1，α2，...，αr-1，β线性表出，即只要证。因为向量β可由α1，α2，...，αr线性表示，不妨设
β=k1α1+k2α2+...+krαr
如果kr=0，那么向量β可由α1，α2，...，αr-1线性表示，矛盾。所以kr≠0，于是有
αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2+...+(kr-1/kr)αr-1，
即向量αr可以被向量组α1，α2，...，αr-1，β线性表出。
所以这两组向量是等价的。

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示