如何推导数列或级数的收敛性？

Question

如题所述

Answer 1

要证明一个数列或级数的收敛性，可以使用多种数学方法，包括极限定义、级数收敛准则和数列收敛准则等。以下是几种常用的证明方法：

1.直接验证部分和有极限。级数的部分和S_n=∑(a_k)。级数收敛的充分必要条件是S_n收敛。若a_n>0，则称上述级数为正项级数，此时部分和单调递增。从而正项级数收敛的另一个充分必要条件是{S_n}有上界。

2.利用极限定义。如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an+1-an|<ε，则称该级数收敛。

3.利用柯西准则。如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an+1-an|<ε，则称该级数收敛。

4.利用比值判别法。如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an+1-an|<ε，则称该级数收敛。