求∫xtanxdx的不定积分。

Question

如题所述

Answer 1

xtanx的不定积分是-x²/2+xtanx+ln|zdcosx|+C。

∫ xtan²x dx

= ∫ x(sec²x-1) dx

= ∫ xsec²x dx - ∫ x dx

= ∫ x dtanx - x²/2

= -x²/2 + xtanx - ∫ tanx dx

= -x²/2 + xtanx - ∫ sinx/cosx dx

= -x²/2 + xtanx - ∫ d(-cosx)/cosx

= -x²/2 + xtanx + ln|cosx| + C

一个函数不定积分是这个函数的全体原函数。在求一个函数不定积分的时候只要找到这个函数的一个原函数，用这个原函数加上任意常数C就得到这个函数的全体原函数，也就得到它的不定积分。任意两个原函数间相差一个常数。一个函数的不定积分是一个函数族，函数族的图像是无数条平行的曲线。