初二数学几何难题

Question

点B沿AC折叠到点B‘，AB’与CD交于点E，PG⊥AB‘于点G，PH⊥DC于点H 连结PE 已知AC=a ∠BAC=30°
（1）点P在AC运动 PG+PH的值是否改变？
（2）当P运动使P,H,B’在同一直线上，试求DE/EH的值

Answer 1

解：（1）不改变
由条件可证明三角形ABC全等于三角形AB'C，
则把G点关于角平分线AC对称过去，使G点落在AB上的点G'
所以PG=PG'，且由角平分线性质可知PG'⊥AB
所以PG+PH=PG'+PH=HG'=BC
而BC是定值

（2）因为角B'AC=30度，角B'=90度
所以角B'CA=60度
因为角DCA=30度，角PHC=90度
所以HPC=60度
当 P,H,B’在同一直线上时，三角形B'PC为正三角形
因为AC=a，∠BAC=30°
所以CH=二分之根号三倍a
或者1)由于点B是沿AC折叠到点B‘，那么直角△ADC、直角△ABC、直角△AB'C全等，且∠B'AC=∠BAC=∠ACD=30°。那么在直角△PGA内，AP=2PG；同理，在直角△PHC内,PC=2PH；∴PG+PH=(AP+PC)/2=AC/2 不变。
2）当P运动使P,H,B’在同一直线上时，由于PB'⊥DC于H点，所以PB'//AD，所以直角△ADE与直角△B'HE相似，∴DE/EH=AD/B'H=BC/B'H=B'C/B'H。而在直角△B'HC内，∠B'CH=30°，所以DE/EH=B'C/B'H=2

Answer 2

1)由于点B是沿AC折叠到点B‘，那么直角△ADC、直角△ABC、直角△AB'C全等，且∠B'AC=∠BAC=∠ACD=30°。那么在直角△PGA内，AP=2PG；同理，在直角△PHC内,PC=2PH；∴PG+PH=(AP+PC)/2=AC/2 不变。
2）当P运动使P,H,B’在同一直线上时，由于PB'⊥DC于H点，所以PB'//AD，所以直角△ADE与直角△B'HE相似，∴DE/EH=AD/B'H=BC/B'H=B'C/B'H。而在直角△B'HC内，∠B'CH=30°，所以DE/EH=B'C/B'H=2

Answer 3

解：（1）不改变
由条件可证明三角形ABC全等于三角形AB'C，
则把G点关于角平分线AC对称过去，使G点落在AB上的点G'
所以PG=PG'，且由角平分线性质可知PG'⊥AB
所以PG+PH=PG'+PH=HG'=BC
而BC是定值

（2）因为角B'AC=30度，角B'=90度
所以角B'CA=60度
因为角DCA=30度，角PHC=90度
所以HPC=60度
当 P,H,B’在同一直线上时，三角形B'PC为正三角形
因为AC=a，∠BAC=30°
所以CH=二分之根号三倍a

Answer 4

观察图形。

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