设n维单位坐标向量组e1，e2，…en可由向量组α1，α2，…αn线性表示，证明α1，α2，…αn线性无关

Question

设n维单位坐标向量组e1，e2，…en可由向量组α1，α2，…αn线性表示，证明α1，α2，…αn线性无关．

Answer 1

证明：由于任意一组n维向量都可以由n维单位向量组线性表示，即
α₁，α₂，…α_n能由n维单位坐标向量e₁，e₂，…，e_n线性表示
而已知n维单位坐标向量e₁，e₂，…，e_n能由α₁，α₂，…α_n线性表示
∴向量组e₁，e₂，…e_n与向量组α₁，α₂，…α_n等价
∴r（α₁，α₂，…α_n）=r（e₁，e₂，…e_n）=n
∴α₁，α₂，…α_n线性无关．