AC1是正方体的体对角线,P为底面ABCD内一动点,三角形APC1面积为1/2,则动点P轨迹为？

Question

AC1是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积等于1/2，求动点P的轨迹方程。答案是椭圆，求过程。

Answer 1

以A为原点，AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，AA1为z轴正方向建立空间直角坐标系
则点C1坐标为(1,1,1)，AC1所在直线方程为x-1=y-1=z-1，向量AC1=(1,1,1)
设P的坐标为(x,y,0)。易得|AC1|=√3，令P到直线AC1的距离为h，有√3h/2=1/2，得h=√3/3
设P到AC1的垂足为E，坐标为(a,a,a)，有h=√[(x-a)^2+(y-a)^2+a^2]=√3/3
在PE⊥AC1，有向量PE·向量AC1=(a-x,a-y,a)·(1,1,1)=(a-x)+(a-y)+a=0，解得a=(x+y)/3
带入√[(x-a)^2+(y-a)^2+a^2]=√3/3消去a化简即得P点的轨迹方程x^2+y^2-xy=1/2 (x≥0且y≥0)
因为包含xy项，图像是一个长轴在y=x上的椭圆圆弧在第一象限内的一段

Answer 2

P的轨迹为：以A为圆心，以1为半径，以B、D为端点的四分之一圆弧

Answer 3

1.欧几里得法：到直线AC1距离为定长的点的集合是以AC1为轴的一个圆柱面，显然底面AC斜截它的面是一个椭圆
2.解析法：设P（x,y），求出AP，C1P，AC1,由三边面积公式得到方程