如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠CBD=30°，DE垂直平分AC，求证：AB=AD

Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠CBD=30°，DE垂直平分AC，求证：AB=AD．

Answer 1

解答：证明：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点C作CG⊥BD交BD的延长线于G，连接CD、EF、EG、FG，
∵AB=AC，
∴BF=CF=

1

2

BC，
∴FG=CF=

1

2

BC，
∵∠CBD=30°，
∴∠BCG=90°-30°=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CG，∠CGF=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴点E是AC的中点，
∴EF=CE=

1

2

AC，
在△ECG和△EFG中，

EF＝CE FG＝CG EG＝EG

，
∴△ECG≌△EFG（SSS），
∴∠EGC=∠EGF=

1

2

∠CGF=

1

2

×60°=30°，
∵∠BGC=∠CED=90°，
∴点E、F、G、C四点共圆，
∴∠CDE=∠EGC=30°，
∴∠ACD=90°-∠CDE=90°-30°=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AB=AC，
∴AB=AD．