函数的值域为R时为什么a不能等于0

Question

y=lg(ax^2+ax+1)为什么值域为R时不可以取a=0,而定义域为R时就可以=0呢

Answer 1

简单来说，就是要保证ax^2+ax+1>0恒成立的问题，
图像y=lg(ax^2+ax+1)本身就是一个单调递增的图像，只要满足基本条件ax^2+ax+1>0，值域即为R
相反的，若取a=0，代入得y=0，只有一个值，与题目值域为R不符合。
定义域为R时，ax^2+ax+1>0对于任意x都恒成立。此时a=0时，x取任意值都有1>0，符合题意。

Answer 2

每次楼主问这样的问题的时候可以先问问自己。我就先看看a=0的时候值域还是不是R。a=0代入，得到y=lg1=0（前面的都没了）是个常数函数，y只能取0这一个数。值域是什么意思？就是y的取值范围。现在y只能取0这一个数，显然不能说值域是R了。
再看定义域，还是把a=0代入，y=0常数函数。定义域是指（使得y有意义或者现实生活中有意义的）自变量x的范围。y=0压根和x没关系，x取几y都有意义，都等于0，所以x取值范围可以说全体实数R，定义域是R。