函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x满足f(x-2)=f(4-x),且f(x-1)=f(x-3),当1<=x<=2时,f(x)=x^2,则f(x)的单

Question

函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x满足f(x-2)=f(4-x),且f(x-1)=f(x-3),当1<=x<=2时,f(x)=x^2,则f(x)的单调减区间为.........

Answer 1

由f(x-2)=f(4-x),且f(x-1)=f(x-3)
我们知道：f(3-x)=f(x-3)，
令3-x=z,那么，由于x属于R，那么t也是属于R的，
所以 对于z属于R，f(z)=f(-z)，所以初步得出f(x)是偶函数；
又，由于f(x-1)=f(x-3)，我们令x-1=a，
则上式可化为：f(a)=f(a-2)，即f(x)=f(x+2)，
所以由周期函数定义知道：该函数的周期为2，
1≤x≤2 时 f(x)=x^2 画出图像 根据图像可知1≤x≤2 f（x）为单调增函数
函数周期为2 所以-1≤x≤0 为增函数 f(x)是偶函数 -1≤x≤0 f（x）为单调减函数
根据图像判断出 单调减区间为[2n，2n+1],n属于大于等于0的整数。

大致思路是 先证明是偶函数 再根据题意找到一个单调减区间 最后得出全部单调减区间