用分部积分法求下列不定积分

Question

∫(e^t)*sin(at) dt

Answer 1

∫ (e^t)*sin(at) dt
=∫ sin(at) d(e^t) dt
=e^t*sin(at) - ∫ e^t d(sin(at))
=e^t*sin(at) - a*∫ e^t*cos(at) dt
=e^t*sin(at) - a*∫ cos(at) d(e^t)
=e^t*sin(at) - a*e^t*cos(at) + a*∫ e^t d(cos(at))
=e^t*sin(at) - a*e^t*cos(at) - a^2*∫ (e^t)*sin(at) dt
因此有等式：
∫ (e^t)*sin(at) dt=e^t*sin(at) - a*e^t*cos(at) - a^2*∫ (e^t)*sin(at) dt
立即解得：
∫ (e^t)*sin(at) dt=[e^t*sin(at) - a*e^t*cos(at)]/(1+a^2)
即，
∫ (e^t)*sin(at) dt=e^t*[sin(at) - a*cos(at)]/(1+a^2)+C
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