AD是RT△ABC中∠A的平分线，∠ACB=90°，EF是AD的垂直平分线且交AD于M，EF、BC的垂直平分线且交AD于M，EF

Question

是AD的垂直平分线切交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。
求证：（1）△AME∽△NMD （2）ND²=NC*NB

Answer 1

证明：
1、
∵EF垂直平分AD
∴∠NMA＝∠NMD＝90
∴∠DNM+∠ADC＝90
∵∠ACB＝90
∴∠CAD+∠ADC＝90
∴∠DNM＝∠CAD
∴△AME∽△NMD （AA）
2、
∵EF垂直平分AD
∴NA＝ND
∴∠NAD＝∠NDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵∠NAD＝∠NAC+∠CAD，∠NDA＝∠B+∠BAD（三角形ABD外角）
∴∠NAC＝∠B
∵∠ANC＝∠BNA（公共角）
∴△ANC∽△BNA （AA）
∴NA/NC＝NB/NA
∴NA²＝NC×NB
∴DN²＝NC×NB