从一个装有m个白球n个黑球的袋中有返回的地摸球，直到摸到白球时停止。求取出黑球数的期望

Question

如题所述

Answer 1

我是这样做的：设取黑球数目为x，则X1=1，时，对应概率为：(n/m+n)(m/m+n)
X2=2时，对应概率为：（n/m+n)^2(m/m+n)
X3=3时，对应概率为：（n/m+n)^3(m/m+n)
以此类推，Xd=d时，对应概率为：（n/m+n)^d(m/m+n)
显然d可以为无穷大，现在设：(n/m+n)=a, (m/m+n)=b
期望值=X值*对应的概率=b[a+2a^2+3a^3+4a^4+……da^d],
关键是求出括号内的值，设此值为S,通过化简可以求出：S=a/(1-a)^2
所以期望值=ba/(1-a)^2,因为：(n/m+n)=a, (m/m+n)=b，代入得：期望值=n/m
我的计算较为繁琐，尤其求S值，要用到求数列和（需要数列相减，求极限等）很容易算错，
“神灵侮仕”的答案确实独辟蹊径，很巧妙，但一般也难以想到！
有什么问题可继续追问

Answer 2

每次摸到白球的概率是m/（m+n），黑球的概率是n/（m+n）
摸m+n次理论上出现m次白球，n次黑球
出现1次白球需要（m+n）/m=1+n/m次摸球
所以有n/m次黑球
比如有m=n=1，
经验证，取出黑球的期望E（黑）=n/m=1
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Answer 3

设取出黑球数的期望为E,则
E=(1+E)*n/(m+n)
E*(m+n)=n+E*n
E*m=n
E=n/m

所以，取出黑球数的期望为n/m