如图,△ABC为等边三角形,D为BC上任意一点,∠ADE=60°,射线DE与△ABC的外角平分线相交于点E。

Question

（1)求证:△ADE为等边三角形；
（2）若点D在CB的延长线上，（1)的结论是否依然成立？

Answer 1

 

（1）易证△ADB≌△AEC，所以AD=AE，

AB=AC，

∠DAB=∠EAC，

∠ABD=120°=∠ACE，

又∠ADE=60°，

所以△ADE为等边三角形 。

 

（2）若点D在CB的延长线上（1）的结论任然成立。

连接AE，

∵三角形ABC为等边三角形

∴AB=AC;

∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

∴∠ABD=∠BAC+∠BCA=120°

∵边DE与角ACB外角的平分线相交于点E;

∴∠DCE=1/2×120º=60°

∴∠ACE=60+60=120°

∵∠ADE=60°

∴∠ACE+∠ADE=180°

ADEC有外接圆O;

弧CE对应的圆周角∠CDE=∠CAE;

∴∠CAE=∠CDE=60-∠ADC=∠DAB;

∴△ADB≌AEC;

∴AD=AE;∵∠ADE=60°，

∴AD=AE=DE，

∴：△ADE为等边三角形。