已知函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1],若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1]值域为R
那么(a²-1)x²+(a+1)x+1要取到所有的正数
那么a²-1>0，且Δ=(a+1)²-4(a²-1)=-3a²+2a+5=-(a+1)(3a-5)≥0
a>1，或a<-1，且-1≤a≤5/3
所有1<a≤5/3，即实数a的取值范围为(1,5/3]

Answer 2

由函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1]的值域为R==>(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0,分三种情况分析
1.当a^2-1>0时，方程图形开口向上，与x轴没有交点，△=(a+1）^2-4(a^2-1)<0，（a+1)(3a-5)>0==>a>5/3或a<-1.
2.当a^2-1=0时，即a=±1时，方程变成1>0或2x>-1,x>-1/2，不符合值域为R的条件。
3.当a^2-1<0时，即-1<a<1时，方程图形开口向下，不能满足值域为R的条件。
所以实数a的取值范围为a>5/3或a<-1。

Answer 3

转化为：(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0
a=1 f(x)=lg(2x+1)
a=-1 f(x)=lg1=0
-1<a<5/3 x<1/2(1-a)-(5-3a)^0.5/[(a+1)^0.5*(a-1)] 或者 x>1/2(1-a)+(5-3a)^0.5/[(a+1)^0.5*(a-1)]时有解。

Answer 4

（1)a=1时，符合题意；
（2）a=-1时，不合题意；
（3）a≠±1时，Δ≥0且a^2-1>0,得a∈（1,5/3]
综上a∈[1,5/3]

Answer 5

值域为R所以二次方程开口向上 那个b^2-4ac小于0就可以了