什么是RLC电路的微分方程？

Question

如题所述

Answer 1

一个二阶RLC欠阻尼电路（串联电阻R、电感L和电容C）的电压响应可以用微分方程来描述。假设初始条件为电荷Q(0)和电流I(0)，电感电流I(t)的响应可以用下面的微分方程来描述：
L * d²I/dt² + R * dI/dt + I/C = 0
这个方程表明电感电流的加速度、速度（电流本身）和位置（通过电荷Q，因为Q = ∫Idt，Q/C = I）的关系。现在，让我们求解这个微分方程。首先，我们将方程简化为一个常见的形式。将所有项除以L，我们得到：
d²I/dt² + (R/L) * dI/dt + I/(LC) = 0
然后，设ζ = R/(2 * sqrt(LC)) 为阻尼比，ω₀ = 1/sqrt(LC) 为未阻尼角频率，我们可以将方程写为更常见的形式：
d²I/dt² + 2ζω₀ * dI/dt + ω₀² * I = 0
在欠阻尼的情况下，阻尼比0 < ζ < 1。这种情况下的解形式为：
I(t) = e^(-ζω₀t) * (A * cos(ωd * t) + B * sin(ωd * t))
其中，ωd = ω₀ * sqrt(1 - ζ²) 是阻尼角频率，A 和 B 是常数，可以由初始条件求解。
设初始条件为I(0) = I₀ 和 dI/dt(0) = I'₀，我们可以求解A和B：
1. 将t = 0代入I(t)，我们有A = I₀。
2. 求I(t)的导数，得到dI/dt = e^(-ζω₀t) * (-ζω₀ * (A * cos(ωd * t) + B * sin(ωd * t)) + ωd * (B * cos(ωd * t) - A * sin(ωd * t)))，再将t = 0代入，我们得到B = (I'₀ + ζω₀ * I₀) / ωd。
所以，我们的解为：
I(t) = e^(-ζω₀t) * (I₀ * cos(ωd * t) + (I'₀ + ζω₀ * I₀) * sin(ωd * t) / ωd)
注意，这个解仅在阻尼比0 < ζ < 1的情况下适用，即电路欠阻尼的情况。在其他情况下，解的形式会不同。