高数类试题，定积分求解。仅有一道哦。

Question

如题所述

Answer 1

分部积分
=-∫lnxd[1/(x-1)]
=-lnx/(x-1)+∫1/[x(x-1)]dx
=-lnx/(x-1)+∫[1/(x-1)-1/x]dx
=-lnx/(x-1)+ln|x-1|-ln|x|(0，e^2)
当x→0
lim-lnx/(x-1)+ln|x-1|-ln|x|
=lim-lnx/(x-1)+0-lnx
=lim(-lnx-xlnx+lnx)/(x-1)
=lim-xlnx/(x-1)
而对于f(x)=xlnx x→0
=lnx/(1/x)，属于∞/∞
使用罗比塔法则
=lim(1/x)/(-1/x^2) x→0
=lim-x x→0
=0
则 lim-lnx/(x-1)+ln|x-1|-ln|x|
而 x=e^2时，
-lnx/(x-1)+ln|x-1|-ln|x| x=e^2
=-2/(e^2-1)+ln(e^2-1)-2

=ln(e^2-1)-2e^2/(e^2-1)
所以，原式=ln(e^2-1)-2e^2/(e^2-1)

Answer 2

此函数的定义域为（0，正无穷大），且不等于1，
从0~e^2没有意义。

Answer 3

设被积函数为f(x)=lnx/(x-1)^2
当x<1时f(x)<0
当x>1时f(x)>0
当x=1时
左极限f(1-)=
右极限f(1+)=+∞
所以f(x)在[0,e^2]的积分不存在
事实上原函数F(x)=ln(1-x)+xlnx/(1-x)
在x=1的左极限F(1-)=-∞
也表明本题的积分不存在