多维正态分布的几个常用性质

Question

如题所述

Answer 1

本文阐述多维正态分布的常见性质，涉及期望、协方差、卷积、边缘分布与[公式]-方分布的证明。所用证明方法基于多元微积分的换元法，配以矩阵计算技巧。

首先，介绍线性变换的性质。设[公式]为[公式]维随机向量，协方差矩阵[公式]的[公式]分量为 [公式]，矩阵[公式]为[公式]阶可逆矩阵。若[公式]为[公式]维随机向量[公式]的线性变换[公式]，则[公式]仍遵循正态分布。

具体证明如下。由性质定义，任意[公式]有[公式]。对任意[公式]，有[公式]。根据[公式]定义，其[公式]分量为[公式]。于是[公式]。证明完成。

注记1指出，即使缺乏关于[公式]的二阶矩信息，仍能通过式(4)推导出[公式]协方差矩阵与[公式]的协方差矩阵关系。特别地，性质一中[公式]时，[公式]，因此[公式]。

注记2说明协方差与线性相关性系数的差异。相关性系数在定义中包含了一个尺度因子，导致其范围限制在[公式]之间。此区别解释了相关性系数的尺度一致性。

综上所述，本文探讨了多维正态分布的关键性质，通过矩阵计算技巧与多元微积分工具，为深入理解统计与概率论提供坚实基础。