正态分布和三大分布

Question

如题所述

Answer 1

正态分布，也被称为常态分布或高斯分布，是一种极其重要的连续概率分布。由棣莫弗在1733年提出，后由高斯在研究测量误差时进一步阐述，广泛应用于数学、物理、工程及社会科学等领域。正态分布的特点是概率密度函数呈钟形曲线，两头低，中间高，左右对称。正态分布的数学期望为μ，方差为σ²，概率密度函数为f(x) = (1/σ√2π) * e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))。正态分布的性质包括对称性、最高点位于均值处、尾部无限接近x轴但不与之相交、σ决定曲线幅度、标准正态分布当μ=0, σ=1时成立。多元正态分布是单变量正态分布的多维推广，广泛应用于统计分析、机器学习、模式识别等领域。

t分布，由威廉·戈塞于1908年提出，用于估计样本均值的准确性，尤其是在小样本且总体标准差未知的情况下。t分布的形状与正态分布类似，但尾部更厚重，主要参数是自由度df，概率密度函数为f(x) = Γ((df+1)/2) / [√(dfπ)Γ(df/2)] * (1 + (x²/df))^(-(df+1)/2)。t分布的性质包括形状随自由度改变、期望值为0、方差随自由度增加而增加。

卡方分布描述了随机变量平方和的分布，常用于检验统计假设。卡方分布的概率密度函数为f(x) = (1/2^(df/2)Γ(df/2)) * x^(df/2-1) * e^(-x/2)，性质包括期望值为df、方差为2df、形状随自由度改变。

F检验是一种假设检验方法，用于比较两组或多组数据的方差或检验统计模型是否适合描述数据，计算公式涉及组间平方和、组内平方和、均方组间和均方组内，最终计算F统计量。F检验的应用广泛，包括方差分析、回归模型检验、多重比较等。