已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S．（1）求证：a2...

Question

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S． （1）求证：a2+b2+c2≥4√3S； （2）求证：tanA2tanB2，tanB2tanC2，tanC2tanA2中至少有一个不小于13．

Answer 1

证明：（1）要证明a2+b2+c2≥4√3S，
只需证明a2+b2+a2+b2-2abcosC≥2√3absinC，
只需证明a2+b2≥2absin（C+π6），
只需证明a2+b2≥2ab，
只需证明（a-b）2≥0，显然成立，
∴a2+b2+c2≥4√3S；
（2）假设tanA2tanB2，tanB2tanC2，tanC2tanA2都不小于13，
则tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2＜1①
∵tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=tanB2（tanA2+tanC2）+tanC2tanA2
=tanB2tan（A2+C2）[1-tanC2tanA2]+tanC2tanA2=1
这与①矛盾，
∴tanA2tanB2，tanB2tanC2，tanC2tanA2中至少有一个不小于13．