如何判断齐次线性方程组的解向量组线性相关？

Question

如题所述

Answer 1

齐次线性方程组系数矩阵的行向量组是否线性无关要通过向量组的秩来判断。要看这个矩阵是否满秩。

基础解系组成的向量组一定是线性无关的，因为基础解系中的向量是解空间的基，换句话说，基础解系的向量组中的向量通过线性组合的得到的向量依然是方程组的解，基础解系的真实含义就是，用一组线性无关的向量来表达所有符合条件的解。

齐次线性方程组基础解系的例题

要证明By＝0只有零解，只要证明B的列向量组线性无关，也就是向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。

证明：设x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0，整理下是

(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)＝0。 （1）

若x0+x1+x2+...+xs≠0，则β＝-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs)，是Ax=0的解，即Aβ=0，与已知矛盾。

所以x0+x1+x2+...+xs＝0。 （2）

此时，（1）式变成x1α1+x2α2+...+xsαs＝0。

因为α1，α2，...，αs是Ax=0的基础解系，是线性无关的，所以x1=x2=...=xs=0。

代入（2），x0=0。

所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0得出x0=x1=x2=...=xs=0。

所以方程组By=0只有零解。