如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P是BD上一点,PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，连接OE,OF.

Question

如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P是BD上一点,PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，连接OE,OF.
(1）证明：OE=OF
(2)若PE=1，PF=3，求OE的长。

Answer 1

（1）由题意可知，四边形AFPF是矩形，△BEP是等腰直角三角形
∴AF=PE=BE，∠OAF=∠OBE=45°
∵OA =OD
∴△AOF≌△BOE
∴OE =OF
(2)∵△AOF≌△BOE
∴∠BOE=∠AOF
∵∠AOB =90°
∴∠EOF=90°
∴△EOF 是等腰直角三角形
∵PE=1，PF=3
∴AP=√10
∴EF=√10（矩形的对角线相等）
∴OE=√5

Answer 2

1。因为BE=EP=AF
角EBO=角FAO
OB=OA
所以三角形EBO全等于三角形FAO
所以OE=OF
2。连接EF
因为角AOF=角BOE，且角AOE+角EOX=90度
所以角EOF=90度
又因为OE=OF，所以三角形EOF为等腰直角三角形
所以OE=EF除以根号2
又根据勾股定理得EF=根号10
所以OE等于根号5

Answer 3

(1)BE=EP=AF OB=OA ∠OBE=∠OAF=45度
所以三角形OBE与三角形OAF全等,则OF=OE

(2)PE=BE,PF=AE
则AB=4
过O点作AB的垂线,垂足为M,则OM=2,EM=1
勾股定理OE=根号5

Answer 4

（1）AFPF是矩形，△BEP是等腰直角三角形
∴AF=PE=BE，∠OAF=∠OBE=45°
∵OA =OD
∴△AOF≌△BOE
∴OE =OF
(2)∵△AOF≌△BOE
∴∠BOE=∠AOF
∵∠AOB =∠EOF=90°
∴△EOF 是等腰直角三角形
∵PE=1，PF=3
∴AP=EF=√10
∴OE=√5

Answer 5

(1)∠DAB=90° =∠AFP=90°

∴AE//FP 且 AF=EP（平行线段之间距离处处相等）

又∵正方形对角线 ∴∠EBP=45°

∠BEP=180°-∠AEP=180°-90°=90°

∴∠BEP=180°-90°-45°=45°

∴△EBP为等腰三角形

则 ：EP=EB ∴ AF=EP=EB

又∵AD=AB

∴AD-AF=AB-EB

又∵对角线 ∴∠EAO=∠FDO OD=OA

∴△AOE相似于△FOD

∴OE=OF

（2）PE=AF=1 FP=AE=3(证平行可得知) EB=AF(上一问已证)

∴正方形边长=AE+EB=FP+AF=FP+PE=3+1=4

(辅助线过O做AD的平行线到AB 标为点H 次线将AB平分)

4/2=2 OE = √OH^2+EH^2 = √2^2+（2-1）^2 = √5

累 希望这能帮助你 0.0...

本人水平有限（为珍惜我的劳动，希望你能看完 我很用心在写）