运用平行线的判定和性质时要注意什么

Question

如题所述

Answer 1

什么是平行即在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。 　　虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何.平行线的判定与性质是几何的基础知识，也是初中几何的重点内容.由于同学们初次接触“判定”与“性质”，对它们的关系不清楚，而且对推理证明的引入比较陌生，因而有些同学在学习中产生困难，本文谈几点看法，希望对同学们有所帮助. 一、要弄清“判定”与“性质”的区别与联系 ，二要明白它们的用法。
平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定
1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。）
2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.同位角相等，两直线平行。
5.内错角相等，两直线平行。
6.同旁内角互补，两直线平行。
平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形首先通过画图认识什么是平行线
平行线的画法 用三角板和直尺过直线外一点作一条直线的平行线的方法可概括为：一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”.即一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：直尺靠在三角板的另一边；三“推”：把三角板沿直尺推动，使开始落在已知直线上的一边经过已知点；四“画”过已知点沿三角板这边画直线.三线八角的概念。在研究平行线的判定和性质时要涉及到同位角、内错角、同旁内角，判别这些角的位置的关键是寻找两条直线被第三条直线相交，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件；它们的区别是：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反： 平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。 平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”到“数”的说理。
平行线的“判定”和“性质”既紧密联系又有根本区别，往往容易混淆，在有关平行线的证明题中，初学者往往搞不清什么时候用平行线的性质定理，什么时候用判定定理.要搞清这个问题，首先要弄清楚这两个定理的结构（如下表）. 由表不难看出，两定理的条件、结论恰好相反.因此，解题时究竟用哪个定理，可总结为：已知平行用性质，要证平行用判定.
如何应用判定与性质解题呢下面我以几个问题为例加以说明。
例1 已知：如图： BD平分∠ABC， ∠1=∠2 ，∠C=70， 求∠ADE 的度数
分析：此题是求角度问题，首先确定应用平行线的判定解题，而要说明角的大小关系就必须证明直线的位置关系，还要使用平行线的性质定理，恰好可用已知两角相等这一条件。此外，通过对问题的分析与说理，可以使学生逐步形成证明的思路 .
解：∠1=∠2（已知） ED∥BC（内错角相等，两直线平行）。
由图可知，ED、BC被AC所截，∠C=∠ADE（两直线平行，同位角相等）。
又∠C=70（已知），∠ADE=70。
例2 如图BE平分∠ABC，EC平分∠BCD，∠E=90°那么AB∥CD吗？为什么？ 分析：这是说明两直线的位置关系应使用性质定理，每次在解题之前可让学生先说说解题思路，每一步结论的依据是什么，让学生逐步感知证明的所有步骤都是有理有据的。不可以想到哪说道哪而没有一个总的思路。
解：∠E=90°（已知），∠1+∠2=90°（三角形内角和性质）。
又BE平分∠ABC（已知），EC平分∠ BCD（已知）。
∠ABE+∠DEC=90°（角平分线的定义）。
∠ABC+∠BCD=180°（等量代换）
AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
对于初学者，最好能让学生先说一说解题思路，因为语言是思维的体现，会说也就会写了。
例3.如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC.
将说明∠1=∠2成立的理由填写完整.
解：∵ DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠ABC （两直线平行，同位角相等.）
∵∠ADE=∠EFC（已知）
∴∠∠EFC =∠ABC
∴DB∥EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
在学会了如何应用判定与性质解题，但往往因为七年级学生刚开始学习证明，书写过程亦缺乏条理性，通过补充证明过程，可慢慢熟悉证明题的书写格式。
例4如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，∠1=∠2，试说明∠ADG =∠C 。
解：∵∠ADG+∠1+∠FDB=180°（平角的定义）
∠2+∠C+∠CFE=180°（三角形内角和定义）
∴∠ADG+∠1+∠FDB=∠2+∠C+∠CFE
∵∠1=∠2（已知）
∠FDB=∠CFE=90°（垂线的定义）
∴∠ADG =∠C（移项变号）
这也是一道综合性问题，因为是由角的大小关系证明角的大小关系，因此既要用判定又要用性质，在解答此题时可以让学生逆推法寻找解题思路，这样也可以帮助学生合理的使用已知条件。
例5.如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF= CD，AB//DE，且AB = DE，判断EF和BC是否平行，并说明理由。
∵AC-FC=DF-FC
∴AC=DF
∵ED、AB被AD所截。
∵AB//DE（已知）
∴∠EDF=∠CAB（两直线平行，内错角相等）
∵AB = DE（已知）
∠EDF=∠CAB（已证）
AC=DF（已知）
∴三角形ABC三角形DEF（SAS）
∴∠BCF=∠EFD（全等三角形的对应边相等）
∴EF//BC（内错角相等，两直线平行）此题的难度有所增加，不但要熟悉判定与性质的使用，还要清楚全都三角形的性质与判定，知识点间是相互关联的，所以在解题时一定要仔细审题，而不要急于做题。
例6如图BE是AB的延长线，DF是AD的延长线，∠CBF=∠A=∠C。
1.由∠CBF=∠A，可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
2.由∠CBE=∠C，可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
3.要证明AF∥BC需要哪些角相等？
4.要证明AE∥DC需要哪些角相等？