平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
已知:a∥b,a⊄α,b⊂α,求证:a∥α
反证法证明:假设a与α不平行,则它们相交,设交点为A,那么A∈α
∵a∥b,∴A不在b上
在α内过A作c∥b,则a∩c=A
又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,与a∩c=A矛盾。
∴假设不成立,a∥α
向量法证明:设a的方向向量为a,b的方向向量为b,面α的法向量为p。∵b⊂α
∴b⊥p,即p·b=0
∵a∥b,由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p
∴a∥α
扩展资料
1、公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.
应用:判断直线是否在平面内
2、公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.
公理2的作用:它是判定两个平面相交的方法.
它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点.
它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.
3、公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.
公理3及其推论作用:它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据
4、公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
参考资料来源:百度百科-平行线的判定