如图（1），在平面直角坐标系中二次函数y=-x 2 +bx+c的图象经过点A（1，-2），B（3，-1）（1）求抛物线的

Question

如图（1），在平面直角坐标系中二次函数y=-x 2 +bx+c的图象经过点A（1，-2），B（3，-1）（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）请问在y轴上是否存在点P，使得S △ABC =S △ABP ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使得△QAB是等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由（不用证明）．

Answer 1

（1）由l 2 的解析式为y=-x 2 +bx+c，联立方程组： -1+b+c=-2 -9+3b+c=-1 解得得：b= 9 2 ，c=- 11 2 ， 则l 2 的解析式为y=-x 2 + 9 2 x- 11 2 =-（x- 9 4 ） 2 - 7 16 ． 点C的坐标为（ 9 4 ，- 7 16 ）． （2）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F， 则AD=2，CF= 7 16 ，BE=1，DE=2，DF= 5 4 ，FE= 3 4 ． 得：S △ABC =S 梯形ABED -S 梯形BCFE -S 梯形ACFD = 15 16 ． 延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y= 1 2 x- 5 2 ，则点G的坐标为（0，- 5 2 ），设点P的坐标为（0，h）， ①当点P位于点G的下方时，PG=- 5 2 -h，连接AP、BP， 则S △ABP =S △BPG -S △APG =- 5 2 -h，又S △ABC =S △ABP = 15 16 ，得h=- 55 16 ，点P的坐标为（0，- 55 16 ）． ②当点P位于点G的上方时，PG= 5 2 +h，同理h=- 25 16 ，点P的坐标为（0，- 25 16 ）． 综上所述所求点P的坐标为（0，- 55 16 ）或（0，- 25 16 ）（7分） （3）作图痕迹如答图2所示． 由图可知， 当以AB为腰以A为顶点时，以点A为圆心，以AB为半径画圆与抛物线交与Q 1 ； 当以AB为腰以B为顶点时，以点b为圆心，以AB为半径画圆与抛物线交与Q 2 ； 当以AB为底边时，作AB的垂直平分线交抛物线于Q 3 ，Q 4 ； 故满足条件的点有Q 1 、Q 2 、Q 3 、Q 4 ，共4个可能的位置．（10分）