矩阵数乘

Question

矩阵有定义:常数k与某矩阵A相乘所得的积，记为C=kA. 问这个定义是否与行列式性质冲突:1.若行列式的第i行各元素有公因式k，则可将k提到行列式记号外与之相乘。2.若矩阵所有元素都乘一个常数k，那么所得行列式不是原来的k倍，而是k∧n倍。

Answer 1

不冲突呀。
符号说明：n阶方阵A，常数k，单位矩阵E
k*A=A*k=kE*A=A*kE
注意 kE是对角线元素全为k的矩阵，称为数量矩阵，它的行列式是 k^n
于是
|k*A|=|kE*A|=|kE|*|A|=k^n*|A|
总之：
矩阵的数乘，相当于用一个数量矩阵与原矩阵相乘；
数乘，是对矩阵的每一个行或每一个列都乘了的，乘了n次。那么行列式之间相差的倍数就是k^n了。追问

那行列式性质，一行或一列中有公因数k，则可提出，与行列式外相乘。而矩阵那是每行每列都乘k,k的n倍。 且上诉矩阵的定义如何理解

追答

对行列式的注释：
n阶行列式，是多个n重元素乘积的代数和。
注释一：
我们记各个和项为Π[i],对应于矩阵为A,即|A|=sum(Π[i])。
对某个行乘上一个值k之后,所和的代数和项均乘上了k,于是行列式变成 sum(k*Π[i])=k|A|.
注释二==等效于注释一：
某一行被乘上常数k, 而此行元素的代数余子式没有变。
依行列式依余子式展开法，行列式的值乘上了k倍。
综上述，行列式的某个行被乘上k, 是一个行的数放大了，
而由这行的元素与其代数余子式之积等于它的行列式值，
由于这个k值没有互相累乘，只是分在各个代数和项之中，
由加法结合律从而提取公因子k，行列式值只增大了 k倍。
强调：行列式上乘以k，相当于对某个行或列乘了k，不是对于所有元素；由于每个连积型和项上只乘了k, 故整个值只乘以k.
还可以这样想，行列式本身是一个已算出来的数，行列式与数相乘，是两个数的乘积。

对矩阵数乘的解释：矩阵的k倍数乘，本质是在矩阵的每个元素上乘了一个k，用向量的数乘来解释，即是对每个行向量乘了k, 或者也相当于对每个列向量乘了k。
解释一：
此时对行列式求值，由于每个元素均乘了k，故每个代数和项上因为累乘之故，乘了k^n。
多而最后行列式的值乘了k^n.
强调：矩阵乘以k，是所有元素均乘了k；不是数与数相乘；
而我们再考虑其行列式时，是对数与矩阵的结果来求行列式；
行列式的子项上有累乘，故整个值乘了k^n.
解释二：
矩阵A与数k相乘，相当于每个行或列与数k相乘，将k倍数乘当作是一个矩阵变换，这个变换对应于对角线元全是k其它元全0的矩阵，即数量矩阵k*E。
显然有 |kA|=|kE*A|=|kE|*|A|=k^n * |A|
这和前面的解释一是一致时，此时我们如果要提取因子k,要提取n个行；要分析分个连积型和项，也是累乘了k^n。

外一则：
对角线之外的元素全0的矩阵，称为对角阵，易见其行列式为对角元之积。
对角线之上侧或下侧的元素全0的矩阵，称为（上侧或下侧）三角阵，易见其行列式也为对角元之积。

还噜嗦一下：
行列式[[[已经]]]是一个{数}；它乘k，若将k放到它所对应的矩阵里去，只能放到[某行或某列]上； 矩阵是一个{数表}，他乘k，相当于将他的[所有数乘k，或相当于每行乘k，也相当于每列乘k，或相当于左乘或右乘数量矩阵kE]，行列式是矩阵的一个测度值，需[[[另行计算]]]，计算得是原矩阵的行列式的k^n倍。

追问

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