给定隐函数 (xyz = \sin z)，我们想要求出 (z_z)，(z_x)，(z_y)，即 (z) 对 (z)，(x)，(y) 的偏导数。
首先，我们可以对方程两边分别对 (x) 和 (y) 求偏导数：
对 (x) 求偏导数：
[ yz + x\frac{\partial y}{\partial x}z + xy\frac{\partial z}{\partial x} = \cos z\frac{\partial z}{\partial x} ]
对 (y) 求偏导数：
[ xz + y\frac{\partial x}{\partial y}z + xy\frac{\partial z}{\partial y} = \cos z\frac{\partial z}{\partial y} ]
我们想要求解这个系统以得到 (\frac{\partial z}{\partial x}) 和 (\frac{\partial z}{\partial y})。注意到在这个问题中，我们已经有了 (z) 关于 (x) 和 (y) 的偏导数，因此我们可以使用这些已知的信息。
从第一个方程中解出 (\frac{\partial z}{\partial x})：
[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{\cos z - xy\frac{\partial y}{\partial x}} ]
从第二个方程中解出 (\frac{\partial z}{\partial y})：
[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{\cos z - xy\frac{\partial x}{\partial y}} ]
最后， (z_z) 就是方程 (xyz = \sin z) 对 (z) 求偏导数：
[ z_z = \frac{1}{x} \sin z ]
因此，(z_z)，(z_x)，(z_y) 分别为 (\frac{1}{x} \sin z)，(\frac{yz}{\cos z - xy\frac{\partial y}{\partial x}})，(\frac{xz}{\cos z - xy\frac{\partial x}{\partial y}})。