:D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F,BC=2.

Question

:D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F,BC=2.
1.当CD=根号2时，求AE的长；
2.试猜想，当CD=2（根号2减1）时，四边形AEDF是什么形。

Answer 1

1.设AE=x，有CE=2-x，

由EF是AD的垂直平分线，

∴AE=ED=x，

直角△CDE中，x²=（2-x）²+（√2）²，

x=3/2.∴AE=3/2.

2.当CD=2（√2-1）时，

由AC=BC=2，

可知∠CAD=22.5°，

∴AD是∠CAB的平分线，

∴AE=AF，DE=DF，

又AE=DE，AF=DF，

∴四边形AEDF是菱形。

为什么∠CAD=22.5°？

作等腰直角△ABC，∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=√2，

延长CB到D，使得BD=AB=√2，

连AD，∴∠D=22.5°，

由AC=1，CD=1+√2，

∴AC/CD=1/（√2+1）=√2-1.

本题中：CD=2（√2-1），AC=2，

∴CD/AC=2（√2-1）/2=√2-1，

这就证明了√CAD=22.5°。