内切圆，是指一个圆与一个三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
1. 知识点定义来源与讲解：
内切圆可以被视为一个与三角形相切的圆，在讨论内切圆的性质之前，我们先来了解一些基本的概念：
三角形：是由三个线段组成的图形，它有三个顶点和三个边。
内切圆的性质：
性质一：内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点。
证明：假设在三角形ABC内切圆O，连接圆心O与三角形的三个顶点A、B、C，设AO、BO和CO分别与三角形的三个角平分线交于点P、Q和R。我们需要证明P、Q和R三点重合，即P=Q=R。
我们可以观察到两个结论：一是AO与BO共度角A和角B的平分线，所以AO与BO相等；二是BO与CO共度角B和角C的平分线，所以BO与CO相等。由此可得AO=BO=CO，所以O是三角形ABC的三个角平分线交点。
由于内切圆的圆心O与三角形的三个顶点A、B、C都相切，所以OA=OB=OC，根据三角形的唯一性质可知三角形ABC是等边三角形，即三个角均为60°。因此，平分线AP、BQ、CR是等边三角形ABC的角平分线，所以P、Q、R三点重合，即P=Q=R。
性质二：内切圆的半径等于三角形三条边的连线与圆心的距离。
证明：设内切圆的半径为r，连接三角形的三个顶点与圆心的连线，设交点分别为D、E和F。我们需要证明三角形的三条边与圆心的连线长都等于r。
由于内切圆是与三角形的三条边相切，所以圆心到三条边的距离等于半径r。假设圆心到边BC的距离为d1，圆心到边AC的距离为d2，圆心到边AB的距离为d3。那么，由于内切圆与三角形的三条边都相切，我们可以得到以下三个等式：
d1 = r
d2 = r
d3 = r
所以，内切圆的半径等于三角形的三条边与圆心的连线的长度。
2. 知识点运用：
1.内切圆的性质可以应用于解决一些与三角形有关的几何问题。
例如，根据内切圆的半径与三角形三条边的连线与圆心的距离相等的性质，我们可以在已知三角形的边长的情况下，求解内切圆的半径。
2.内切圆的性质也可以用于证明一些几何定理。
例如，我们可以利用内切圆的性质证明三角形的角平分线交于一个点，从而得到三角形的内切圆的存在性和唯一性。
3. 知识点例题讲解：
例题一：在已知三角形ABC的边长为8、10和12的情况下，求其内切圆的半径。
解答：根据内切圆的性质，内切圆的半径等于三角形的三条边与圆心的连线的长度。所以，我们可以计算出三角形的半周长s=（8+10+12）/2 = 15。
然后，根据海伦公式，可以求得三角形的面积A=√（15×（15-8）×（15-10）×（15-12））= 30。
再根据面积公式A=rs，其中r为内切圆的半径，s为三角形的半周长，可以得到r=A/s=30/15=2。
所以，内切圆的半径为2。
例题二：已知三角形ABC的内切圆O的半径为4，求三角形的面积。
解答：根据内切圆的性质，内切圆的半径等于三角形的三条边与圆心的连线的长度。所以，我们可以在三角形ABC中连接半径为4的圆心O与三个顶点A、B、C，得到三个等边三角形AOB、BOC、COA。
因为AOB、BOC、COA是等边三角形，所以它们的边长相等，假设为a。然后，我们可以根据等边三角形的相关公式计算出a的值。根据勾股定理，可以得到a=8。
所以，三角形ABC的边长为8，而根据海伦公式，我们可以计算出三角形的半周长s=8×3/2=12。然后，根据面积公式A=rs，其中r为内切圆的半径，s为三角形的半周长，可以得到三角形的面积A=4×12=48。
总结：内切圆是几何学中重要的概念之一，在解决一些与三角形有关的问题时，内切圆的性质常常会发挥重要作用。因此，熟练掌握内切圆的性质，对于解决几何问题具有重要的意义。