如图,在等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点

Question

如图,在等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点，M为直线BC上的一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）
（1）如图一，当点M在点B的左侧时，请你判断EN和MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明。
（2）当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图（2）证明；若不成立，请说明理由。
（3）若点M在点C的右侧时，请你在图（3）中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立，若成立，请直接写出结论。

Answer 1

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE

设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC =60°
∴∠DBM =120°
∴∠NFD =120°
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上

(2)
成立
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°
∠NDE+∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE

（3） MF=NE仍成立